註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。
三角函數,勾股弦與角之繫也。
定義[纂]
直角三角形[纂]
直角三角形,取一銳角,簡曰角。為便捷計,不論長短,角之對邊曰勾,角之旁曰股。
角之正弦者,弦(
)除勾(
)也(記曰
);
餘弦者,弦除股(
)也(記曰
);
正切者,股除勾也(記曰
);
餘切者,勾除股也(記曰
);
正割者,股除弦也(記曰
);
餘割者,勾除弦也(記曰
)。
圓[纂]
迨坐標幾何生,其義遂新。以零點為心,徑一作一圓。定其始邊,凡一角,應圓上一點,使徑為弦,縱座標勾,橫為股。因有:
首象限,即自東(零度)始,迄北(九十度),正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割皆正;
次象限,即自北(九十度)始,迄西(百八十度),正弦、餘割為正,餘弦、正割、正切、餘切皆負;
三象限,即自西(百八十度)始,迄南(二百七十度),正弦、餘弦、正割、餘割皆負,正切、餘切為正;
四象限,即自南(二百七十度)始,迄東(三百六十度,即零度),正弦、餘割、正切、餘切皆負,餘弦、正割為正。
級數[纂]
以弧度觀之,奇數乘方除以階乘(
),再以正負之法合之,得正弦級數(
)。
偶乘方除以階乘(
),同法合之,得餘弦(
) 。
若依此法,以弧長入,出之長,則三角函數可入複數、矩陣、算子,不必拘於角耳。
指數[纂]
歐拉究級數,得歐拉等式,知三角函數可以指數示之。取一角,乘負一開方,歐拉數之其乘方,得一數(
);減倒數,半之,除以負一開方,得正弦(
);加倒數,半之,得餘弦(
)。
公式[纂]
商關係
![{\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f024fc11e57e7fbac757210cc79be66aa12ab86b)
![{\displaystyle \cot x={\frac {\csc x}{\sec x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54ad82090f779864a86b6ae1a187b52293c2be57)
平方關係
![{\displaystyle {(\sin x)}^{2}+{(\cos x)}^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d7e3ed2e19b01208c71ccfe2dc6637bbcf03e68)
![{\displaystyle 1+\tan ^{2}x=\sec ^{2}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cb8367d06ce56ec6fce37c4407f3eb3adac3554)
![{\displaystyle 1+\cot ^{2}x=\csc ^{2}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da61d3108247a5b574a90589cbdeb2e4f65bfba0)
和角、差角公式
![{\displaystyle \sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/688e4fe762bb0dfcf7fa3c7e5517a208ed0ae993)
![{\displaystyle \cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fde27654b87805940cfef57359d550d843c7abba)
![{\displaystyle \tan(x\pm y)={\frac {\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\tan y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aea6e82e73f85b045ad1241c313d2e04635f6a9)
倍角公式
![{\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a2433b44a620c864ff755594ae13751ece26ea9)
![{\displaystyle \cos 2x=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3906ea6aa3e143ed86403bcda77df71806b02be8)
![{\displaystyle \tan 2x={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19b997c282c4ea9e16db0d1d4aa4d6b86df809dd)
積化和公式
![{\displaystyle \sin x\cos y={\frac {1}{2}}[\sin(x+y)+\sin(x-y)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c532d7defef5a090ce9f1dab554e5af852be8fb)
![{\displaystyle \cos x\cos y={\frac {1}{2}}[\cos(x+y)+\cos(x-y)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55cbdcb57fbba4d29c2f43a5b8998c0e9b1a2e91)
![{\displaystyle \sin x\sin y=-{\frac {1}{2}}[\cos(x+y)-\cos(x-y)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6492823b4e144b5e1973381a684712e4061c37b4)
和化積公式
![{\displaystyle \sin x\pm \sin y=2\sin {\frac {x\pm y}{2}}\cos {\frac {x\mp y}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ac8dea603f90d1437218e304b7e2e6815b48e71)
![{\displaystyle \cos x+\cos y=2\cos {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2791d88f49dafee372535fdaed0480528162041d)
![{\displaystyle \sin x+\sin y=-2\sin {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca41724256b541d31bad1919db5b8566afb30ed3)
另有多倍角之式,然其煩雜,不易撰之,是以簡略。
見[纂]