註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。
元數一而次數二之方程,是謂一元二次方程。通式:
。
法[纂]
因式分解法[纂]
化方程爲
者。若可拆之為因式積,則可以因式分解之。
方程如
者,其解爲:
![{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddcdc99b985b5d370851854c27f1e803c29ebd6a)
亦作爲:
![{\displaystyle x_{1,2}={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d1b6dbef4c9b5f62aea9c201589b668396e538c)
證明[纂]
公式者,可以配方證之。[一]
一般[纂]
一元二次方程
者,
乃其根之判式也。以判式,得解如下:
- 若
,則此方程含不等實數根有二。若係數均有理數,且
乃完全平方數,則二解均有理數,否則均爲實數矣。
- 若
,則此方程含實數根有一。為
![{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53a8718969a456b33cfe2e16b9a3d23e96670afd)
- 若
,則此方程含不等複數根有二。為
![{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b}{2a}}\pm i{\frac {\sqrt {4ac-b^{2}}}{2a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6afe22b18c4e981f63926646d7e6e0afbf6ea9b)
其中
方程
解之幾何意,爲二次映射
之圖像與x軸交點之X坐標也。[一]
韋達定理[纂]
以韋達定理,方程之解,並係數之關係如下:[一]
![{\displaystyle x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}+{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {-2b}{2a}}=-{\frac {b}{a}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b60afada3834633e51cbef4effb5cf0e0286babf)
![{\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}\cdot {\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}}={\frac {4ac}{4a^{2}}}={\frac {c}{a}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b511d6dcb8c704844c322bfa7b805e36c38bf2d)
用[纂]
今人有用其分解因式者,化為通式,求之雙根,則方程之左化為兩式之積。兩式均為天元減其根,勿論正負。復乘二次之系數,即得。以分解因式求根者逆之,毋贅。
。
、
者,
之雙根也。
據[纂]
- ↑ 一點〇 一點一 一點二 人教社九年級數學課本